Кто должен оформлять договора гражданско-правового характера?

Вы серьезно хотите получить компетентный ответ от незнакомых людей в интернете? 

Смотрите, заходите сюда, оформляете бесплатный доступ на 2 дня ко всей базе знаний Консультант + и за это время находите и ответ на свой вопрос, и судебную практику, и все формы документов с примерами заполнения, какие вам только понадобятся.

Непосредственно руководитель организации, так как он является работодателем.

В любом случае оформлением занимается кадровая служба, если таковая у работодателя имеется. В противном случае оформлением договоров занимается тот, кому работодатель поручил эту работу.

Составить может любой работник у которого это прописано в должностной инструкции (обычно юрист). Подписывать должен единоличный исполнительный орган (директор), т.к. только он имеет право подписи без доверенности от организации. Либо он может дать доверенность на подписание таких договоров.