Могу ли я уйти на следующий день после написания заявления?

Вы серьезно хотите получить компетентный ответ от незнакомых людей в интернете? 

Смотрите, заходите сюда, оформляете бесплатный доступ на 2 дня ко всей базе знаний Консультант + и за это время находите и ответ на свой вопрос, и судебную практику, и все формы документов с примерами заполнения, какие вам только понадобятся.

Можете. Главное - написать в заявлении дату начала отпуска по уходу за ребенком и отдать заявление под роспись.

Вам нужно оформить отпуск на основании статьи 256 ТК РФ.