Могу ли я оспорить решение заведующей по увольнению?

Вы серьезно хотите получить компетентный ответ от незнакомых людей в интернете? 

Смотрите, заходите сюда, оформляете бесплатный доступ на 2 дня ко всей базе знаний Консультант + и за это время находите и ответ на свой вопрос, и судебную практику, и все формы документов с примерами заполнения, какие вам только понадобятся.

Ваша заведующая действует в рамках Трудового кодекса, согласно ст. 80 которого, работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя за две недели - это и есть две недели "отработки". Так что все законно. Не отрабатывать две недели можно лишь по соглашению с работодателем.

Причины, по которым можно уволиться ранее 2-х недельного срока определены в ст. 80 ТК РФ:

По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.

Обязанность работника состоит в том, чтобы не менее чем за две недели в письменной форме предупредить работодателя об увольнении по собственному желанию. А сократить этот срок или уволить работника датой, которой он просит, есть право работодателя, предоставленное ему ст.80 ТК РФ. Работодатель обязан уволить в срок, указанный работником, только при наличии уважительных причин, как правило, связанных с невозможностью продолжения работы. Поэтому попробуйте договориться с работодателем.