Можно прописаться в квартире до принятия наследства?

Вы серьезно хотите получить компетентный ответ от незнакомых людей в интернете? 

Смотрите, заходите сюда, оформляете бесплатный доступ на 2 дня ко всей базе знаний Консультант + и за это время находите и ответ на свой вопрос, и судебную практику, и все формы документов с примерами заполнения, какие вам только понадобятся.

Нет, у Вас пока нет оснований для регистрации на этой жилплощади. Нет никаких прав на нее. Вот когда станете собственником квартиры, тогда сможете там зарегистрироваться. А по счетам платите, долг в любом случае ляжет на плечи наследника.