Могут ли выселить из служебной квартиры?

Вы серьезно хотите получить компетентный ответ от незнакомых людей в интернете? 

Смотрите, заходите сюда, оформляете бесплатный доступ на 2 дня ко всей базе знаний Консультант + и за это время находите и ответ на свой вопрос, и судебную практику, и все формы документов с примерами заполнения, какие вам только понадобятся.

Я считаю, что нет, ООО является правоприемником учреждения. Вы заключили договор с учреждением, следовательно все обязательства учреждения по этому договору перешли к ООО.