могут ли уволить бармена, если он работает пол месяца и просит один день отгула по причине плохого самочувствия?

Вы серьезно хотите получить компетентный ответ от незнакомых людей в интернете? 

Смотрите, заходите сюда, оформляете бесплатный доступ на 2 дня ко всей базе знаний Консультант + и за это время находите и ответ на свой вопрос, и судебную практику, и все формы документов с примерами заполнения, какие вам только понадобятся.

Если работодатель официально не предоставит день отпуска без сохранения заработной платы (на что имеет полное право), то ваше отсутствие на работе будет расцениваться как прогул, за что вас могут уволить. Для того, чтобы этого не произошло, нужно всё-таки обратиться к врачу; даже в случае, если Вам не выдадут больничный, то отсутствие на работе уже не будет являться отсутствием без уважительных причин, и вы сможете при желании оспорить увольнение за прогул.