Может ли не дееспособный завещать или дарить своё жильё?

Вы серьезно хотите получить компетентный ответ от незнакомых людей в интернете? 

Смотрите, заходите сюда, оформляете бесплатный доступ на 2 дня ко всей базе знаний Консультант + и за это время находите и ответ на свой вопрос, и судебную практику, и все формы документов с примерами заполнения, какие вам только понадобятся.

Юридически нет. Но, если нотариус (или рег. палата) не заподозрят недееспособность гражданина, то сделка может пройти. При обращении в суд заинтересованной стороны с предоставлением документов, подтверждающих недееспособность, сделка будет признана недействительна (ненадлежащий субъект), будут применены последствия недействительной сделки.