нужно ли разрешение от управляющей компании на установку сплит-системы.

Вы серьезно хотите получить компетентный ответ от незнакомых людей в интернете? 

Смотрите, заходите сюда, оформляете бесплатный доступ на 2 дня ко всей базе знаний Консультант + и за это время находите и ответ на свой вопрос, и судебную практику, и все формы документов с примерами заполнения, какие вам только понадобятся.

Фасадная несущая стена относится к общему имуществу и на установку сплит системы необходимо решение собственников МКД.

В принципе, за этим никто не следит, но если по закону, Вы должны подготовить проект установки сплита и получить согласие жильцов дом и УК на его установку. На практике, если сплит мешает (гудит, закрывает окна), на том основании, что работы не соглдасованы с жильцами и УК, суд обязывал людей снять его.

Если на сплит упадет дерево, которое растет на территории, которую обслуживает УК, у Вас есть все шансы получить с УК возмещение убытков.

О необходимости спилить ветки, лучше предупреждать УК письменно.