Имеет ли право работодатель уволить сотрудника?

Вы серьезно хотите получить компетентный ответ от незнакомых людей в интернете? 

Смотрите, заходите сюда, оформляете бесплатный доступ на 2 дня ко всей базе знаний Консультант + и за это время находите и ответ на свой вопрос, и судебную практику, и все формы документов с примерами заполнения, какие вам только понадобятся.

Нет.Это незаконно.Согласно ст. 66 Трудового кодекса РФ работодатель (за исключением работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями) обязан вести трудовые книжки на каждого работника, проработавшего в организации свыше 5 дней (в случае, если работа в этой организации является для работника основной), в порядке, определенном Правилами ведения и хранения трудовых книжек, изготовления бланков трудовой книжки и обеспечения ими работодателей, утвержденными Постановлением Правительства РФ от 16.04.2003 N 225 (в ред. от 06.02.2004).

Стаж и запись в трудовой делается обязательно. Потребуйте при отказе идите в Трудовую инспекцию.