Как прописаться в квартиру с задолженностью?

Вы серьезно хотите получить компетентный ответ от незнакомых людей в интернете? 

Смотрите, заходите сюда, оформляете бесплатный доступ на 2 дня ко всей базе знаний Консультант + и за это время находите и ответ на свой вопрос, и судебную практику, и все формы документов с примерами заполнения, какие вам только понадобятся.

Для регистрации необходимо обратиться в отдел учета и регистрации, представить договор соцнайма на квартиру, паспорта, и написать заявление.

Да, можно. Это никак не связанные понятия. Вам, может быть, устно откажут. Требуйте письменный отказ, тогда при предъявлении необходимых документов, пропишут.