Возможна ли прописка в другом городе, не выезжая туда?

Вы серьезно хотите получить компетентный ответ от незнакомых людей в интернете? 

Смотрите, заходите сюда, оформляете бесплатный доступ на 2 дня ко всей базе знаний Консультант + и за это время находите и ответ на свой вопрос, и судебную практику, и все формы документов с примерами заполнения, какие вам только понадобятся.

Полагаю, что в Вашем случае доверенность не поможет.

В соответствии с пунктом 16 постановления Правительства РФ от 17 июля 1995 года № 713  "Об утверждении правил регистрации и снятия граждан РФ с регистрационного учета..."

16. Гражданин, изменивший место жительства, обязан не позднее 7 дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к лицам, ответственным за прием и передачу в органы регистрационного учета документов, и представить:

документ, удостоверяющий личность;

заявление установленной формы о регистрации по месту жительства;

документ, являющийся в соответствии с жилищным законодательством Российской Федерации основанием для вселения в жилое помещение.

Соответственно, подлинник паспорта сына Вы представить не сможете.

Рекомендация эксперта
Однако, в соответствии с тем же пунктом 16 Правил...Заявление установленной формы о регистрации по месту жительства в форме электронного документа, а также копии документов, указанных в настоящем пункте, в электронной форме могут быть представлены через Единый портал.

вашему сыну необходимо лично заполнить электронные формы на портале Госуслуги, а также прикрепить к ним необходимые документы в электронном виде