Должен ли руководитель МБУ нести ответственность по ч.1 ст.19.5 КоАП?

Вы серьезно хотите получить компетентный ответ от незнакомых людей в интернете? 

Смотрите, заходите сюда, оформляете бесплатный доступ на 2 дня ко всей базе знаний Консультант + и за это время находите и ответ на свой вопрос, и судебную практику, и все формы документов с примерами заполнения, какие вам только понадобятся.

Да, несет. Однако у руководителя есть право обжаловать постановление о привлечении к административной ответственности (о назначении административного наказания). Постановление (возможно) будет отменено, если он докажет, что устранение нарушений в сроки, установленные предписанием, были заведомо неисполнимы. Либо до вынесения постановления о назначении административного наказания просить о прекращении дела об административном правонарушении в связи с малозначительностью совершенного правонарушения, отсутствием негативных последстий. В общем, все зависит от того, какое предписание было, какие действия предприняты и т.д.