Могу ли я отметить отработанные 3 месяца в трудовой книжке?

Вы серьезно хотите получить компетентный ответ от незнакомых людей в интернете? 

Смотрите, заходите сюда, оформляете бесплатный доступ на 2 дня ко всей базе знаний Консультант + и за это время находите и ответ на свой вопрос, и судебную практику, и все формы документов с примерами заполнения, какие вам только понадобятся.

Испытательный срок здесь не причем. Всего скорее вы работали без должного оформления трудовых отношений: без заключения трудового договора, издания приказа о приеме на работу, соответственно и без перечисления работодателем налогов, страховых взносов. Поэтому и запись в трудовую работодатель отказывается вносить.